Первый раз пишу в управу: лавочки у детской площадки, с чего начать?

Сразу оговорюсь, я не консультирую, просто как у нас в Тёплом Стане было. Самый простой путь — обращение через mos.ru, там есть форма для обращений, выбираете управу своего района. Плюс в том, что остаётся номер и виден срок ответа.
Писать лучше коротко: где именно (адрес дома, площадка во дворе такого-то дома), что не так (нет ни одной лавочки, люди сидят на бортике), что просите (поставить две-три лавочки по краю площадки). Фото обязательно, два-три снимка с разных сторон.
Подписи соседей не обязательны, но помогают: если приложить список хотя бы на 15-20 квартир, письмо читается уже не как жалоба одного человека. Мы прикладывали скан листа с подписями, ответ пришёл через три недели. Если ответят «включено в план работ» без срока, можно спокойно написать повторно и спросить, на какой год.

Ещё посмотрите, нет ли в «Активном гражданине» голосования по благоустройству вашего района, дворы туда иногда попадают. И сфотографируйте, где люди реально стоят и сидят, это хороший аргумент, где именно ставить. Я на прогулках по Басманному так отмечаю стихийные места отдыха, их потом видно на карте двора.